teoria Graceli - onda-partícula-densidade de carga, incerteza [ONDA-PARTÍCULA-DENSIDADE DE CARGA], E FUNÇÃO QUÂNTICA COM DENSIDADE DE ARGA.

 teoria Graceli - onda-partícula-densidade de carga, incerteza [ONDA-PARTÍCULA-DENSIDADE DE CARGA], E FUNÇÃO QUÂNTICA COM DENSIDADE DE ARGA.

Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7.º duque de Broglie, geralmente conhecido por Louis de Broglie (Dieppe, 15 de agosto de 1892 — Louveciennes, 19 de março de 1987), foi um físico francês que contribuiu para a formulação da teoria da mecânica quântica.

Em 1924 de Broglie postulou em sua tese de doutorado que partículas também possuiriam um comprimento de onda, uma onda de matéria. O físico francês relacionou o comprimento de onda (λ) com a quantidade de movimento (p) da partícula, mediante a fórmula

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$,

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DC = DENSIDADE DE CARGA

onde h é a constante de Planck. De Broglie também postulou que se elétrons fossem adequadamente submetidos ao experimento de dupla fenda, também apresentariam um padrão de interferência. Em 1927, o experimento de Davisson–Germer confirmou essa previsão de De Broglie, estabelecendo a dualidade onda-partícula da matéria. Em 1929, recebeu o Prêmio Nobel pela descoberta da natureza ondulatória do elétron.^[2]

Em 1925, de Broglie também publicou a teoria da Onda piloto,^[3] uma interpretação realista dos fenômenos quânticos nos quais o movimento do elétron e outras partículas quânticas são guiados por uma onda de fase, a onda piloto. Em 1952, David Bohm aprofundou essa teoria formulando a interpretação de Bohm, ou de de Broglie-Bohm. Em 2011, o cientista Aephraim Steinberg utilizou o experimento de fenda dupla para realizar simultaneamente uma medida fraca da posição e do momento de um fóton.^[4] Esse experimento parece comprovar as trajetórias de Bohm previstas pela interpretação de de Broglie-Bohm.

Onda piloto

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Física

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} }$ ------------------------------------------ DC = DENSIDADE DE CARGA

As Equações de Maxwell

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Onda piloto, na física teórica, é um conceito na teoria de variável oculta que explica que o estado de um sistema físico, tal como formulado pela mecânica quântica, não dá uma descrição completa para o sistema; ou seja, que a mecânica quântica é, em última análise, incompleta e que uma teoria completa daria categorias descritivas para explicar todo o comportamento observável e, assim, evitar qualquer indeterminismo.^[1] Segundo a teoria da onda piloto, as partículas têm trajetórias definidas, mas por causa da influência da onda piloto, elas ainda apresentam estatísticas em forma de onda.^[2] Esse conceito foi apresentado por Louis de Broglie em 1927,^[3] também é chamado como mecânica bohmiana e foi o primeiro exemplo conhecido de uma teoria de variáveis ocultas. Sua versão mais moderna, a teoria de de Broglie-Bohm, interpreta a mecânica quântica como uma teoria determinística, evitando noções problemáticas como dualidade onda-partícula, colapso da função de onda instantâneo e o paradoxo do gato de Schrödinger. Para resolver esses problemas, a teoria é inerentemente não local.

A teoria das ondas piloto de Broglie-Bohm é uma das várias interpretações da mecânica quântica (não-relativística). Uma extensão ao caso relativista foi desenvolvida desde os anos 90.^[4][5][6][7]

• 4Referências

A teoria da onda piloto

Princípios

(a) Um caminhante em um curral circular. Trajetórias de comprimento crescente são codificadas por cores de acordo com a velocidade local da gotícula (b) A distribuição de probabilidade da posição da gota ambulante corresponde aproximadamente à amplitude do modo de onda Faraday do curral.^[8]

(a) Um caminhante em um curral circular. Trajetórias de comprimento crescente são codificadas por cores de acordo com a velocidade local da gotícula (b) A distribuição de probabilidade da posição da gota ambulante corresponde aproximadamente à amplitude do modo de onda Faraday do curral.

A teoria traz à luz a não localidade que está implícita na formulação não relativista da mecânica quântica e a utiliza para satisfazer o teorema de Bell. Pode-se mostrar que esses efeitos não locais são compatíveis com o teorema da não comunicação, que impede o uso deles para uma comunicação mais rápida que a luz e, portanto, é empiricamente compatível com a relatividade.

• a teoria tem realismo (significando que seus conceitos existem independentemente do observador);
• a teoria tem determinismo.

As posições das partículas são consideradas as variáveis ocultas. O observador não apenas não conhece o valor exato dessas variáveis do sistema quântico considerado e não pode conhecê-las precisamente porque qualquer medição as perturba. Por outro lado, algo (o observador) é definido não pela função de onda dos átomos, mas pelas posições dos átomos. Portanto, o que se vê ao seu redor também são as posições das coisas próximas, não suas funções de onda.

Uma coleção de partículas tem uma onda de matéria associada, que evolui de acordo com a equação de Schrödinger. Cada partícula segue uma trajetória determinística, que é guiada pela função de onda; coletivamente, a densidade das partículas está de acordo com a magnitude da função de onda. A função de onda não é influenciada pela partícula e pode existir também como uma função de onda vazia.^[9]

A teoria traz à luz a não localidade que está implícita na formulação não relativista da mecânica quântica e a utiliza para satisfazer o teorema de Bell. Pode-se mostrar que esses efeitos não locais são compatíveis com o teorema da não comunicação, que impede o uso deles para uma comunicação mais rápida que a luz e, portanto, é empiricamente compatível com a relatividade.

De acordo com a teoria das ondas piloto, a partícula pontual e a onda de matéria são entidades físicas reais e distintas (ao contrário da mecânica quântica padrão, onde partículas e ondas são consideradas as mesmas entidades, conectadas pela dualidade onda-partícula). A onda piloto guia o movimento das partículas pontuais, conforme descrito pela equação de orientação.

Base matemática

Para derivar a onda piloto de Broglie-Bohm para um elétron, o procedimento quântico de Lagrange

${\displaystyle L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

onde ${\displaystyle Q}$ é o potencial quântico relacionado com a força quântica e pode ser expresso por:

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}.}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Esse potencial é integrado precisamente ao longo do caminho (aquele que o elétron realmente segue). Isto conduz à seguinte fórmula para o propagador de Bohm:

${\displaystyle K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Este propagador permite controlar o elétron precisamente ao longo do tempo sob a influência do potencial quântico.^[10]

Uma segunda maneira de encontrar a onda de matéria de de Broglie para uma única partícula é dada pela equação de Schrödinger dependente do tempo:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad .}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Se expressarmos a função de onda em coordenadas polares, conforme a proposta de Erwin Madelung, temos:

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho }}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right),}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

onde ${\displaystyle \rho }$ é a densidade de probabilidade e S é a fase da onda piloto. A velocidade de Bohm pode ser encontrada substituindo a função de onda na equação de Schrödinger e obtendo a equação de continuidade: ^[11]

${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0\;,}$

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DC = DENSIDADE DE CARGAonde ${\displaystyle v}$ é a velocidade de Bohm definida por:

${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}},t)={\frac {\nabla S({\vec {r}},t)}{m}}\;.}$

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DC = DENSIDADE DE CARGAA interpretação de Bohm assume que a partícula é guiada pela onda piloto e sua trajetória pode ser encontrada integrando a velocidade de Bohm. Em 2011, o cientista Aephraim Steinberg utilizou o experimento de fenda dupla para realizar uma medida fraca simultaneamente da posição e do momento de um fóton,^[12] obtendo pela primeira vez uma prova experimental das trajetórias de Bohm.

O potencial quântico descrito anteriormente pode ser facilmente obtido pela equação de Hamilton-Jacobi:

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+V+Q\;,}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA                e igualarmos o potencial quântico a zero, a equação acima reduz-se ao caso de uma partícula clássica.

NÃO SE CONSEGUE CONHECER AO MESMO TEMPO: MOMENTUM E POSIÇÃO, E A DENSIDADE DE CARGAS.

O princípio da incerteza consiste num enunciado da mecânica quântica formulado em 1927 por Werner Heisenberg. Tal princípio estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física, conhecidas como variáveis complementares (tais como posição e momento linear), podem ser conhecidos. Em seu artigo de 1927, Heisenberg propõe que em nível quântico quanto menor for a incerteza na medida da posição de uma partícula, maior será a incerteza de seu momento linear e vice-versa.^[1]

O princípio da incerteza é um dos aspectos mais conhecidos da física do século XX e é comumente apresentado como um exemplo claro de como a mecânica quântica se diferencia das premissas elementares das teorias físicas clássicas.^[2] Isso porque na mecânica clássica quando conhecemos as condições iniciais conseguimos com precisão determinar o movimento e a posição dos corpos de forma simultânea. Ainda que o princípio da incerteza tenha sua validade restrita ao nível subatômico, ao inserir valores como indeterminação e probabilidade no campo do experimento empírico, tal princípio constitui uma transformação epistemológica fundamental para a ciência do século XX.^[3] Essa transformação conduziu à discrepâncias na interpretação do conteúdo físico, surgindo versões conceitualmente distintas para as relações de incerteza, podendo ser interpretadas como relações de incerteza ou indeterminação.^[4]

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Expressão

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada x_i e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear p_i não pode ser inferior, em grandeza, à constante reduzida de Planck. ^[5]Em termos matemáticos, exprime-se assim:

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

                                                             ------------------------------------------

                                                                  DC = DENSIDADE DE CARGA                                                                                   onde ${\displaystyle \hbar }$ é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

A explicação disso não é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo. Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Caso se queira determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.^[6]

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência), maior será a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

${\displaystyle E=h\cdot \nu }$------------------------------------------

                                                               DC = DENSIDADE DE CARGA

e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao se medir a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.

Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada.

Algumas pessoas consideram mais fácil o entendimento através da analogia. Para se descobrir a posição de uma bola de plástico dentro de um quarto escuro, podemos emitir algum tipo de radiação e deduzir a posição da bola através das ondas que "batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um automóvel, podemos fazer com que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele levou entre um feixe e outro. Nem radiação nem a luz conseguem interferir de modo significativo na posição da bola, nem alterar a velocidade do automóvel. Mas podem interferir muito tanto na posição quanto na velocidade de um elétron, pois aí a diferença de tamanho entre o fóton de luz e o elétron é pequena. Seria, mais ou menos, como fazer o automóvel ter de atravessar dois troncos de árvores (o que certamente alteraria sua velocidade), ou jogar água dentro do quarto escuro, para deduzir a localização da bola através das pequenas ondas que baterão no objeto e voltarão; mas a água pode empurrar a bola mais para a frente, alterando sua posição. Desta forma torna-se impossível determinar a localização real desta bola, pois a própria determinação mudará a sua posição. Apesar disto, a sua nova posição pode ser ainda deduzida, calculando o quanto a bola seria empurrada sabendo a força das ondas obtendo-se uma posição provável da bola e sendo provável que a bola esteja localizada dentro daquela área.

Natureza da medida em mecânica quântica

Como se pode depreender da argumentação acima exposta, a natureza de uma medida sofre sérias reformulações no contexto da mecânica quântica. De fato, na mecânica quântica uma propriedade leva o nome de observável, pois não existem propriedades inobserváveis nesse contexto. Para a determinação de um observável, é necessário que se tenha uma preparação conveniente do aparato de medida, a fim de que se possa obter uma coleção de valores do ensemble de entes do sistema. Se não puder montar, ao menos teoricamente (em um Gedankenexperiment) uma preparação que possa medir tal grandeza (observável), então é impossível determiná-la naquelas condições do experimento.

Uma comparação tornará mais clara essa noção. No experimento de difração da dupla fenda, um feixe de elétrons atravessando uma fenda colimadora atinge mais adiante duas outras fendas paralelas traçadas numa parede opaca.

Do lado oposto da parede opaca, a luz, atravessando as fendas simultaneamente, atinge um anteparo. Se se puser sobre este um filme fotográfico, obtém-se pela revelação do filme um padrão de interferência de zonas claras e escuras. Esse resultado indica uma natureza ondulatória dos elétrons, resultado esse que motivou o desenvolvimento da mecânica quântica.

Entretanto, pode-se objetar e afirmar-se que a natureza dos elétrons seja corpuscular, ou seja, composta de partículas. Pode-se então perguntar por qual fenda o elétron atravessou para alcançar o anteparo. Para determinar isso, pode-se pôr, junto de cada fenda, uma pequena fonte luminosa que, ao menos em princípio, pode indicar a passagem dos elétrons por tal ou qual fenda. Entretanto, ao fazê-lo, o resultado do experimento é radicalmente mudado. A figura de interferência, antes presente, agora dá lugar a uma distribuição gaussiana bimodal de somente duas zonas claras em meio a uma zona escura, e cujos máximos se situam em frente às fendas.

Isso acontece porque as naturezas ondulatória e corpuscular do elétron não podem ser simultaneamente determinadas. A tentativa de determinar uma inviabiliza a determinação da outra. Essa constatação da dupla natureza da matéria (e da luz) leva o nome de princípio da complementaridade.

Essa analogia serve para mostrar como o mundo microfísico tem aspectos que diferem significativamente do que indica o senso comum.

Para se entender perfeitamente o alcance e o real significado do princípio da incerteza, é necessário que se distingam três tipos reconhecidos de propriedades dinâmicas em mecânica quântica:

1. Propriedades compatíveis: são aquelas para as quais a medida simultânea e arbitrariamente precisa de seus valores não sofre nenhum tipo de restrição básica. Exemplo: a medição simultânea das coordenadas x, y e z de uma partícula. A medição simultânea dos momentos p_x,p_y e p_z de uma partícula.
2. Propriedades mutuamente excludentes: são aquelas para as quais a medida simultânea é simplesmente impossível. Exemplo: se um elétron está numa posição x_i, não pode estar simultaneamente na posição diferente x_j.
3. Propriedades incompatíveis: são aquelas correspondentes a grandezas canonicamente conjugadas, ou seja, aquelas cujas medidas não podem ser simultaneamente medidas com precisão arbitrária. Em outras palavras, são grandezas cujas medidas simultâneas não podem ser levadas a cabo em um conjunto de subsistemas identicamente preparados (ensemble) para este fim, porque tal preparo não pode ser realizado. Exemplos: as coordenadas x,y e z e seus correspondentes momentos p_x,p_y e p_z, respectivamente. As coordenadas angulares θ_i e os correspondentes momentos angulares J_i.

Observáveis e operadores

No formalismo matemático da mecânica quântica, os observáveis são representados por operadores matemáticos sobre um espaço de Hilbert.

Esses operadores podem ser construídos a partir de seus equivalentes clássicos.

Na formulação de Heisenberg, as relações da incerteza podem ser dados na forma de um operador comutador, que opera sobre dois outros operadores quaisquer:

${\displaystyle [A,B]\equiv AB-BA}$

onde A e B são operadores quaisquer.

No caso das relações de incerteza:

${\displaystyle [X_{k},B_{l}]=i\hbar \delta _{kl}\mathbb {I} }$                                           

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Dirac notou a semelhança formal entre o comutador e os parênteses de Poisson. Sabedor da equivalência usada por Schrödinger quando este postulou a forma da equação de onda, Dirac postulou as seguintes equivalências, que valem como receita para se acharem os operadores quânticos correspondentes a grandezas clássicas:

${\displaystyle coordenada\ x_{k}\to operador\ X_{k}}$${\displaystyle momento\ p_{l}\to operador\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$${\displaystyle \left\{x_{k},p_{l}\right\}\to {\frac {1}{i\ \hbar }}\cdot \left[X_{k},P_{l}\right]}$

                                                                        ------------------------------------------

                                                                    DC = DENSIDADE DE CARGA

A descrição ondulatória dos objetos microscópicos tem consequências teóricas importantes, como o princípio da incerteza de Heisenberg. O fato de os objetos microscópicos, em muitas situações, terem uma localização no espaço mesmo que aproximada, implica que não podem ser descritos por uma onda com um só comprimento de onda (onda plana), pois esta ocuparia todo o espaço. É necessária uma superposição de comprimentos de ondas diferentes para se obter um "pacote" de ondas mais bem localizado e que represente o objeto microscópico.

O papel do princípio da incerteza nas formulações modernas da mecânica quântica

Hoje em dia, o princípio da incerteza é importante principalmente por dois motivos: um histórico e outro didático. Ambos são análogos: o princípio da incerteza mostra de maneira clara que concepções clássicas a respeito da medida devem ser abandonadas.

No entanto, o princípio da incerteza *não* é um bom princípio (ou postulado) da mecânica quântica, já que é inexato e pouco geral. A mecânica quântica não-relativística é totalmente descrita com alguns postulados, dos quais as relações de incerteza de Heisenberg surgem de forma pouco natural. Mas o espírito do princípio da incerteza é mantido: não se pode ter um sistema que, ao ser medido, tenha a probabilidade 1 de se encontrar tanto uma ou outra grandeza, se essas grandezas corresponderem a operadores que não comutam. Iremos explicar isto melhor adiante:

Todas as grandezas que podem ser medidas correspondem aos chamados "autovalores" de certos objetos matemáticos chamados de operadores (na verdade, a natureza requer que esses operadores sejam de uma classe especial, a dos "observáveis"). Chamemos um operador qualquer de A, e chamemos seus autovalores de a_n (a_1 é um autovalor, a_2 é outro e assim por diante). Existem estados quânticos, chamados "autoestados" (que representaremos por ${\displaystyle |\phi _{n}>}$) do operador A, nos quais uma medida tem 100% de chance de encontrar o valor a_n. Esses autoestados e esses autovalores são definidos pela seguinte equação:

${\displaystyle A|\phi _{n}>=a_{n}|\phi _{n}>}$

Um operador é dito um observável se esses autoestados ${\displaystyle \phi _{n}>}$ formarem uma "base". Diz-se que um grupo qualquer de estados quânticos formam uma base se qualquer outro estado quântico puder ser escrito como uma superposição deles. Ou seja, para qualquer estado quântico ${\displaystyle |\Psi >}$,

${\displaystyle |\Psi >=\sum c_{n}|\phi _{n}>}$

Onde os coeficientes ${\displaystyle c_{n}}$, em geral complexos, indicam o quanto os autoestados correspondentes ${\displaystyle |\phi _{n}>}$ influenciam no estado resultante, ${\displaystyle |\Psi >}$. Um dos postulados da mecânica quântica diz que a probabilidade de uma medida da grandeza A revelar o valor a_n é:

${\displaystyle P(a_{n})=|c_{n}|^{2}}$

Quando o sistema está no autoestado ${\displaystyle |\phi _{n}>}$, o postulado acima mostra que a probabilidade de se encontrar o valor a_n correspondente é 100%. Assim, pode-se dizer que o sistema *possui a grandeza A bem definida*.

Agora consideremos dois operadores A e B, como o operador da posição e o operador do momento. Em geral, os autoestados de um operador não são os mesmos autoestados do outro operador. Consequentemente, se o sistema está em um estado quântico onde a grandeza A é bem definida, a grandeza B não será bem definida. Ou seja, haverá uma "incerteza" na grandeza B.

Mas, e se o sistema estiver num estado onde a grandeza A é bem definida, e efetuarmos uma medida na grandeza B? Pode-se pensar que, então, saberemos exatamente o valor de ambas as grandezas. Mas isso está errado, devido a outro dos postulados da mecânica quântica: se uma medida de uma grandeza qualquer B revela o valor b_n, então o sistema *é perturbado pela medida*, e passa para o autoestado ${\displaystyle |\phi _{n}>}$ correspondente à grandeza A_n.

Então, suponha que dois operadores A e B não possuem os mesmos autoestados. Se efetuarmos em um sistema qualquer a medida da grandeza A, e encontrarmos um certo valor, o sistema se torna um autoestado de A, com um valor bem definido de A e uma incerteza no valor de B. Se, após isso, efetuarmos uma medida no valor de B, então lançamos o sistema num autoestado de B, com um valor bem definido de B e uma incerteza no valor de A. Com isso, dizemos que é impossível saber simultaneamente o valor da grandeza A e da grandeza B.

A incerteza entre a posição e o momento proposta por Heisenberg é, então, uma consequência dos postulados da mecânica quântica, e não um postulado por si só.

A DENSIDADE DE CARGA EM:

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicada em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").^[2]:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores^{[3]:Capítulo 3} afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula. A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

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Soluções

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. A função de onda - um objeto matemático que especifica completamente o comportamento dos elétrons em uma molécula - é central tanto para a química quântica quanto para a equação de Schrödinger. A função de onda é uma entidade de alta dimensão e, portanto, é extremamente difícil capturar todas as nuances que codificam como os elétrons individuais afetam uns aos outros. Muitos métodos da química quântica na verdade desistem de expressar a função de onda por completo, em vez de tentar apenas determinar a energia de uma dada molécula. No entanto, isso requer que sejam feitas aproximações, limitando a qualidade da previsão de tais métodos.

As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.^[4]:292ff A melhor das soluções, a rede neural profunda é uma maneira de representar as funções de onda dos elétrons. Em vez da abordagem padrão de compor a função de onda a partir de componentes matemáticos relativamente simples, os desenvolvedores projetaram uma rede neural artificial capaz de aprender os padrões complexos de como os elétrons estão localizados ao redor dos núcleos. Quando dois elétrons são trocados, a função de onda deve mudar seu sinal. Para que a solução funcione, essa propriedade foi construída na arquitetura da rede neural. Esse recurso é conhecido como princípio de exclusão de Pauli.^[5] Além do princípio de exclusão de Pauli, as funções de onda eletrônica também têm outras propriedades físicas fundamentais, e o sucesso da abordagem PauliNet é que ela integra essas propriedades na rede neural profunda, em vez de permitir que o aprendizado profundo as decifre apenas observando os dados. Com esta abordagem de 2020, as possibilidades se abrem para resolver problemas nas ciências moleculares e materiais.^[6]

Equação

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante ${\displaystyle t}$ por ${\displaystyle \left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[7]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) ${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$                        ------------------------------------------                       DC = DENSIDADE DE CARGA

Em que ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária, ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck dividida por ${\displaystyle 2\pi }$, e o Hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[8]

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)}$,

------------------------------------------

DC = DENSIDADE DE CARGA

em que ${\displaystyle \psi \left(x\right)}$ é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck ${\displaystyle h}$ dividida por ${\displaystyle 2\pi }$; ${\displaystyle m}$ é a massa da partícula; ${\displaystyle V\left(x\right)}$ é a função energia potencial e ${\displaystyle E}$ é a energia do sistema.

Equação multidimensional

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[9]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)}$

------------------------------------------

DC = DENSIDADE DE CARGA

em que ${\displaystyle {\nabla }^{2}\psi =\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{n}^{2}}}}$ 

------------------------------------------

DC = DENSIDADE DE CARGA

é o operador laplaciano em ${\displaystyle N}$ dimensões aplicado à função ${\displaystyle \psi }$.

Relação com outros princípios

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: ${\displaystyle E_{m}=E_{c}+V}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Equação do Oscilador harmônico: ${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\psi =0}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Relação de De Broglie: ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Onde ${\displaystyle \psi }$ é a função de onda, ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}}$, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi mv}{h}}\right)^{2}\psi =0\to \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {-4(\pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}\psi \to {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=v^{2}\psi }$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Rearranjando a equação de energia, temos que ${\displaystyle v^{2}={\frac {2(E_{m}-V)}{m}}}$,

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DC = DENSIDADE DE CARGA

 substituindo ${\displaystyle v^{2}}$ na equação anterior:

${\displaystyle {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)\psi }$ , definindo ${\displaystyle \hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}}$, temos:

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DC = DENSIDADE DE CARGA

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

${\displaystyle {\widehat {H}}\psi =E\psi }$, 

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DC = DENSIDADE DE CARGA

em que ${\displaystyle {\widehat {H}}\psi }$ é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[10]

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Lembrando a relação ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$, também pode se escrever:

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi }$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$

em que H_n são os polinômios de Hermite.

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

E os níveis de energia correspondentes são:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$

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DC = DENSIDADE DE CARGA

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.